材料力学课件第七章 弯曲应力

1、第七章 弯曲应力材料力学171 纯弯曲72 纯弯曲时的正应力73 梁横截面上的切应力74 梁的正应力和切应力强度条件75 梁的合理截面第七章 弯曲应力 27 纯弯曲弯曲应力1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 切应力t弯矩M 正应力s3平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)弯曲应力2、研究方法纵向对称面P1P2例如：平面弯曲时横截面t 横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)4 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。弯曲应力PPaaABQMxx纯弯曲(Pure Bending):572 纯弯曲时的正应力1.纯弯曲实验 横向线(a b、c d

2、）变形后仍为直线，但有转动；（一）梁的纯弯曲实验弯曲应力纵向对称面bdacabcdMM 纵向线变为曲线，且上缩下伸； 横向线与纵向线变形后仍正交。横截面高度不变。6纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。2.推论弯曲应力3.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴（横截面上只有正应力）7（二） 几何方程： 弯曲应力abcdABz)OO1)横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性层距离成正比（中性轴上应变为零，一侧拉应

3、变，一侧压应变）A1B1O1Odqryy8 （三）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。弯曲应力sxsx（四）静力学关系：9弯曲应力（ y 为对称轴，自动满足） (3)EIz 杆的抗弯刚度。中性层曲率：10（五）最大正应力：弯曲应力 (5)DdDd=abhd11例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11x +MM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩3012弯曲应力Q=60k

4、N/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求应力18030 x +M13求曲率半径弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030 x +M1473 梁横截面上的切应力一、 矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设： 切应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，切应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；弯曲应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图a图bzs1xys2t1tb图c在微段上取一块如图c，平衡15弯曲应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图a图b由切应力互等zs1xys

5、2t1tb图c横力弯曲时,横截面上切应力的计算公式.16弯曲应力zySz*为面积A*对横截面中性轴的静矩.式中: Q-所求切应力面上的剪力.IZ-整个截面对中性轴的惯性矩.Sz*-过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩.b-所求应力点处截面宽度.yA*yc*17弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下部分面积对中性轴之静矩；182、几种常见截面的最大弯曲切应力 弯

6、曲应力Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。工字钢截面：结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。Af 腹板的面积。;maxA Qtf腹板最大弯曲切应力:d;maxA Qtf 铅垂切应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大切应力19圆截面：薄壁圆环：槽钢：弯曲应力exyzPQeQ ehHR207-4 梁的正应力和切应力强度条件 1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。弯曲应力QtsssMt212、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最

7、大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）弯曲应力3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：tsQtsM224、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：弯曲应力23解：画内力图求危面内力例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核

8、梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mABL=3mQ+xx +qL2/8M24求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mQ+xx +qL2/8M25y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4弯曲应力画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmM26校核强度T字头在上面合理。弯曲应力y1y2GA1A2y1y2GA3A4x-4kNm2

9、.5kNmMA3A427（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为弯曲应力bh7-5 梁的合理截面281、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面强度：正应力：切应力：(二) 其它材料与其它截面形状梁的合理截面弯曲应力zDzaa29弯曲应力zD0.8Da12a1z30工字形截面与框形截面类似。弯曲应力0.8a2a21.6a22a2z31 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一

10、方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：弯曲应力2、根据材料特性选择截面形状sGz32弯曲应力（三）采用变截面梁 ，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px335-5 非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心几何方程与物理方程不变。弯曲应力PxyzO34依此确定正应力计算公式。切应力研究方法与公式形式不变。弯曲应力弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O）PxyzO35槽钢：弯曲应力非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。exyzP

11、PsMQe36弯曲中心的确定:(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。(4)求弯心的普遍方法：弯曲应力CCCQyeC37ssss5-6 考虑材料塑性时的极限弯矩（一）物理关系为：全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。弯曲应力sessss理想弹塑性材料的s-e图ssss弹性极限分布图塑性极限分布图38（二）静力学关系：（一）物理关系为：弯曲应力yzxssMjx横截面图正应力分布图39弯曲应力yzxssMjx横截面图正应力分布图40例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之 比。解：弯曲应力41弯曲内力yzhb解： （1）横截面的切应力为：例5结构如图，试证明： （1）任意横截面上的切应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的切应力的 合力由哪个力来平衡？q42弯曲内力(2) 横截面上的合剪力为：(3) 合力偶 43弯曲内力(4)中面上的切应力为：纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡。(5) 纵截面上的合剪力大小为：tmaxt44本章结束45